यदि बिंदु (2,3,1) का रेखा frac{x+1}{2}=frac{y | vedclass

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Question

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1} = \lambda$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $M = (2\lambda-1, \lambda+3, -\lambda-2)$ है।दि

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$19$

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(B) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1} = \lambda$ है। $L_1$ पर कोई बिंदु $M = (2\lambda-1, \lambda+3, -\lambda-2)$ है।दिया गया बिंदु $P = (2,3,1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (2\lambda-3, \lambda, -\lambda-3)$ है।चूंकि $\vec{PM}$,$L_1$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (2, 1, -1)$ के लंबवत है:$2(2\lambda-3) + 1(\lambda) - 1(-\lambda-3) = 0$$4\lambda - 6 + \lambda + \lambda + 3 = 0 \Rightarrow 6\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.अतः,$M = (0, \frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.माना $P'(x', y', z')$ बिंदु $P$ का $L_1$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$PP'$ का मध्य बिंदु है:$\frac{x'+2}{2} = 0 \Rightarrow x' = -2$$\frac{y'+3}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y' = 4$$\frac{z'+1}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow z' = -6$अतः,$P' = (-2, 4, -6)$.समतल रेखा $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{1}$ को समाहित करता है।समतल $P'(-2, 4, -6)$ और $L_2$ पर स्थित बिंदु $A(2, 1, -1)$ से गुजरता है और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (3, -2, 1)$ के समानांतर है।सदिश $\vec{P'A} = (2 - (-2), 1 - 4, -1 - (-6)) = (4, -3, 5)$.समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{P'A} 	imes \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & -3 & 5 \ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} + 11\hat{j} + 1\hat{k}$.समतल का समीकरण $7(x-2) + 11(y-1) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow 7x + 11y + z = 24$ है।$\alpha=7, \beta=11, \gamma=1$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha+\beta+\gamma = 19$ है।

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